Question

10．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若2ccos（C-$\frac{π}{2}$）=asin（π-A）-bcos（$\frac{π}{2}$+B），則圓M：x²+y²=4被直線l：ax-by+c=0所截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，求出圓的圓心與半徑，利用垂徑定理求解即可．

解答 解：由2ccos（C-$\frac{π}{2}$）=asin（π-A）-bcos（$\frac{π}{2}$+B），化簡(jiǎn)得2csin C=asin A+bsin B，由正弦定理，可得2c²=a²+b²；
圓M：x²+y²=4的圓心為（0，0），半徑為r=2，圓心M到直線l：ax-by+c=0的距離為d=$\frac{|c|}{\sqrt{a2+b2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以圓M被直線l所截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{r}^{2}-pmn0s00^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
故答案為：$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．