Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）在x=2處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為22，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，求出單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，進(jìn)而得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x²+6x+9，
可得切線的斜率為f′（2）=9，切點(diǎn)為（2，20），
所以f（x）在x=2處的切線方程為y-20=9（x-2），
即9x-y+2=0．
（2）令f′（x）=-3x²+6x+9=0，得x=3（舍）或x=-1，
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（-2，-1）時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（-1，2）時(shí)單調(diào)遞增，
又f（-2）=2+a，f（2）=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，
于是有22+a=22，解得a=0．
故f（x）=-x³+3x²+9x，因此f（-1）=-5，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．