Question

10．據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種產(chǎn)品在投放市場的30天中，其銷售價格P（元）和時間t （t∈N）（天）的關(guān)系如圖所示．
（Ⅰ） 求銷售價格P（元）和時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式是Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），問該產(chǎn)品投放市場第幾天時，日銷售額y（元）最高，且最高為多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論t的范圍，求出函數(shù)的表達式即可；（Ⅱ）先求出函數(shù)的表達式，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（I）①當0≤t＜20，t∈N時，
設(shè)P=at+b，將（0，20），（20，40）代入，得$\left\{\begin{array}{l}20=b\\ 40=20a+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=20.\end{array}\right.$
所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．（3分）
②當20≤t≤30，t∈N時，
設(shè)P=at+b，將（20，40），（30，30）代入，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=60.\end{array}\right.$
所以 P=-t+60（20≤t≤30，t∈N），…．（6分）
綜上所述$P=\left\{\begin{array}{l}t+20（0≤t＜20，t∈N）\\-t+60（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（7分）
（II）依題意，有y=P•Q，
得$y=\left\{\begin{array}{l}（t+20）（-t+40）（0≤t＜20，t∈N）\\（-t+60）（-t+40）（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（9分）
化簡得$y=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}+20t+800（0≤t＜20，t∈N）\\{t^2}-100t+2400（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$
整理得 $y=\left\{\begin{array}{l}-{（t-10）^2}+900（0≤t＜20，t∈N）\\{（t-50）^2}-100（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（11分）
①當0≤t＜20，t∈N時，由y=-（t-10）²+900可得，當t=10時，y有最大值900元．…（12分）
②當20≤t≤30，t∈N時，由y=（t-50）²-100可得，當t=20時，y有最大值800元．…．（13分）
因為 900＞800，所以在第10天時，日銷售額最大，最大值為900元．…．（14分）

點評 本題考查了求函數(shù)的表達式問題，考查分段函數(shù)，函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．