Question

13．如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，作EF∥CB，并且交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求證：△DEF∽△EFA；
（Ⅱ）如果FG=1，求EF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圓中同弧所對圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，結(jié)合公共角∠EFD=∠EFD，證出△DEF∽△EFA
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EF²=FA•FD，再由圓的切線長定理FG²=FD•FA，所以EF=FG=1

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镋F∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得$\frac{EF}{FA}=\frac{FD}{EF}$，EF²=FA•FD．
因?yàn)镕G是切線，所以FG²=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查與圓有關(guān)的角、比例線段，要善于尋找有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)、定理求解．