Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2a（x-$\frac{1}{x}$）+2a²，x∈[1，2]．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）換元，再利用配方法，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）換元，再利用配方法，分類討論，即可求函數(shù)f（x）的最小值．

解答 解：（1）設(shè)x-$\frac{1}{x}$=t（t∈[0，$\frac{3}{2}$]），則
a=1時(shí)，y=t²+2-2t+2=（t-1）²+3，
∵t∈[0，$\frac{3}{2}$]，∴t=0，即x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4；
（2）設(shè)x-$\frac{1}{x}$=t（t∈[0，$\frac{3}{2}$]），則y=t²+2-2at+2a²=（t-a）²+a²+2
a＜0，函數(shù)f（x）的最小值是2+2a²，
0≤a≤$\frac{3}{2}$，函數(shù)f（x）的最小值是a²+2
a＞$\frac{3}{2}$，函數(shù)f（x）的最小值是$\frac{17}{4}$-3a+2a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確配方是關(guān)鍵．