Question

已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝mx－ (m為實數(shù))．

(1)求曲線y＝f(x)在點P()，f()處的切線方程；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若m＝1，證明：當(dāng)x>0時，f(x)<g(x)＋.

 

Answer 1

（1）x－y＋1－＝0

（2）則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－)，(，＋∞)．

（3）見解析

【解析】【解析】
(1)由題意得所求切線的斜率k＝f′()＝cos＝.

切點P(，)，則切線方程為y－＝ (x－)，

即x－y＋1－＝0.

(2)g′(x)＝m－x2.

①當(dāng)m≤0時，g′(x)≤0，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，＋∞)；

②當(dāng)m>0時，令g′(x)<0，解得x<－或x>，

則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－)，(，＋∞)．

(3)證明：當(dāng)m＝1時，g(x)＝x－.

令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，

則h(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．

故當(dāng)x>0時，h(x)>h(0)＝0，即sinx<x，f(x)<g(x)＋.