Question

4．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且對于任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在定義域上是單調增函數(shù)；
（2）如果f（${\frac{1}{3}}$）=-1且f（x）-f（${\frac{1}{x-2}}$）≥2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用單調性的定義證明函數(shù)的單調性；注意應用抽象函數(shù)的相關性質．
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關系式，將不等式進行轉化，結合函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 （1）證明：在（0，+∞）上任取兩數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=k，則f（k）＞0，k＞1．
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)．
（2）∵f（${\frac{1}{3}}$）=-1，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（${\frac{1}{3}}$×${\frac{1}{3}}$）=f（${\frac{1}{3}}$）+f（${\frac{1}{3}}$）=-1-1=-2，
∵f（x）-f（${\frac{1}{x-2}}$）≥2，
∴f（x）-2≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
即f（x）+f（$\frac{1}{9}$）≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
即f（$\frac{x}{9}$）≥f（${\frac{1}{x-2}}$），
$\frac{x}{9}$≥${\frac{1}{x-2}}$，①
由${\frac{1}{x-2}}$＞0得x＞2，
則①等價為x²-2x-9≥0，
解得x≥1+$\sqrt{10}$或x≤1-$\sqrt{10}$（舍），
則不等式的解集為[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的單調性證明和利用單調性定義解抽象不等式，利用定義法以及轉化法是解決本題的關鍵．屬于中檔題．