Question

20．已知正四面體A₁A₂A₃A₄，點(diǎn)A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分別是所在棱的中點(diǎn)，如圖，則當(dāng)1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j時(shí)，數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為9．

Answer 1

分析 設(shè)出已知正四面體的棱長(zhǎng)，求出四個(gè)面上的每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)，每一對(duì)相對(duì)棱的中點(diǎn)連線得長(zhǎng)，然后分別求i=1，j自1取到10，所得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值，同理求得i=2，j自1取到10，所得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值，…i=10，j自1取到10，所得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值，比較結(jié)果后得答案．

解答 解：∵四面體A₁A₂A₃A₄是正四面體，
∴四面體的所有棱長(zhǎng)相等，設(shè)為a，四個(gè)面上的每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)均為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
每一對(duì)相對(duì)棱的中點(diǎn)連線相等均為$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
當(dāng)i=1，j自1取到10，所得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值有：
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=a²，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{7}}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{8}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{9}}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{10}}=\frac{1}{4}{a}^{2}$．
當(dāng)i=2，j自1取到10時(shí)，依次求得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值，
…
i=10，j自1取到10，依次求得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值，
比較結(jié)果后得數(shù)量積$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同數(shù)值有$-{a}^{2}，-\frac{3}{4}{a}^{2}，-\frac{1}{2}{a}^{2}，-\frac{1}{4}{a}^{2}$，0，$\frac{1}{4}{a}^{2}，\frac{1}{2}{a}^{2}，\frac{3}{4}{a}^{2}，{a}^{2}$共9個(gè)．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何體中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．