Question

4．${x^2}-{log_a}（x+1）＜2x-1在（\frac{1}{2}，1）$內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{（{\frac{3}{2}}）^{-4}}，1）$
• B． $（{（{\frac{3}{2}}）^{-4}}，1）$
• C． $（1，{（{\frac{3}{2}}）^4}）$
• D． $（1，{（{\frac{3}{2}}）^4}]$

Answer 1

分析 把已知不等式變形，得到x²-2x+1＜log_a（x+1）在（$\frac{1}{2}，1$）內(nèi)恒成立，令f（x）=x²-2x+1，g（x）=log_a（x+1），由f（$\frac{1}{2}$）=g（$\frac{1}{2}$）求得a值，畫出兩個函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答 解：由x²-log_a（x+1）＜2x-1在（$\frac{1}{2}，1$）內(nèi)恒成立，得
x²-2x+1＜log_a（x+1）在（$\frac{1}{2}，1$）內(nèi)恒成立，
令f（x）=x²-2x+1，g（x）=log_a（x+1），
作出兩個函數(shù)的圖象如圖：
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，g（$\frac{1}{2}$）=$lo{g}_{a}\frac{3}{2}$，
∴由f（$\frac{1}{2}$）=g（$\frac{1}{2}$），得$lo{g}_{a}\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$，
∴${a}^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$，則$a=（\frac{3}{2}）^{4}$．
∴要使${x^2}-{log_a}（x+1）＜2x-1在（\frac{1}{2}，1）$內(nèi)恒成立，
則a的取值范圍是$（1，（\frac{3}{2}）^{4}]$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．