Question

20．如圖，半徑為1的扇形中心角為$\frac{π}{3}$，一個矩形的一邊在扇形的半徑上，求此矩形的最大面積．

Answer 1

分析 如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答 解：如圖，在Rt△OCB中，設(shè)∠COB=α，則OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt{3}$，所以O(shè)A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
∴AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα
=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，所以當(dāng)2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此，當(dāng)α=$\frac{π}{6}$時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡，屬于中檔題．