Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB，則cosB=$\frac{7}{8}$，sin（2A-B）=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理結(jié)合已知條件求出三角形的邊長，然后求解cosB，利用兩角和與差的三角函數(shù)求解sin（2A-B）．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知a-b=2，c=4，
由sinA=2sinB，可得a=2b，解得b=2，a=4，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$．
sinB=$\sqrt{1-（{\frac{7}{8}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
sinA=$\frac{\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cosA=$\frac{1}{4}$，
sin2A=2×$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{7}{8}$-（2×$\frac{1}{16}-1$）$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．
故答案為：$\frac{7}{8}$；$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．