Question

14．已知寒素f（x）=3x²-2mx-1（m∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（m），求g（m）的表達(dá)式；
（3）已知h（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，h（x）=f（x）+2mx+1，若h（2x-3）≤h（x+cosθ）對θ∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在（1，2）上單調(diào)可知$\frac{m}{3}$≤1或$\frac{m}{3}$≥2，解出m的范圍；
（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間[0，1]的關(guān)系分三種情況討論f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，求出f（x）的最小值；
（3）求出h（x）的解析式并判斷好h（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性得出2x-3與x+cosθ的大小關(guān)系，解不等式得出x的范圍．

解答 解：（1）f（x）的對稱軸為x=$\frac{m}{3}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上是單調(diào)函數(shù)，∴$\frac{m}{3}$≤1或$\frac{m}{3}$≥2，解得m≤3或m≥6．
∴m的取值范圍是（-∞，3]∪[6，+∞）．
（2）①若$\frac{m}{3}$≤0，即m≤0時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，∴g（m）=f（0）=-1．
②若$\frac{m}{3}$≥1，即m≥3時，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，∴g（m）=f（1）=2-2m．
③若0＜$\frac{m}{3}$＜1，即0＜m＜3時，f（x）在[0，1]上先減后增，∴g（m）=f（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{{m}^{2}}{3}$-1．
綜上，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，m≤0}\\{-\frac{{m}^{2}}{3}-1，0＜m＜3}\\{2-2m，m≥3}\end{array}\right.$．
（3）當(dāng)x≥0時，h（x）=3x²，
設(shè)x＜0，則-x＞0，∴h（-x）=3x²，
∵h(yuǎn)（x）為奇函數(shù)，∴h（x）=-h（-x）=-3x²，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}，x≥0}\\{-3{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$．∴h（x）在R上是增函數(shù)．
∵h(yuǎn)（2x-3）≤h（x+cosθ）對θ∈R恒成立，
∴2x-3≤x+cosθ對θ∈R恒成立．∴x≤3+cosθ對θ∈R恒成立．
∵-1≤cosθ≤1，∴x≤2．
∴實數(shù)x的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，最小值以及函數(shù)恒成立問題，對對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．