Question

10．設(shè)x³+ax+b=0，其中a，b均為實(shí)數(shù)，給出下列條件中，①a=-3，b=-3；②a=-3，b=2；③a=0，b=2．其中能使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 令f（x）=x³+ax+b，將①a=-3，b=-3；②a=-3，b=2；③a=0，b=2分別代入，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：令f（x）=x³+ax+b，
①當(dāng)a=-3，b=-3時(shí)，
f（x）=x³-3x-3，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
且f（-1）=-1+3-3=-1＜0，f（1）=1-3-3=-5＜0，
故f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根；
②當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，
f（x）=x³-3x+2，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
且f（-1）=-1+3+2=4＞0，f（1）=1-3+2=0，
故f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，
故該三次方程僅有兩個(gè)實(shí)根；
③當(dāng)a=0，b=2時(shí)，
f（x）=x³+2，
f′（x）=3x²≥0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．