Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有a_n是S_n與n的等差中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過2a_n=S_n+n可知當(dāng)n=1時(shí)a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)2a_n=S_n+n與2a_n-1=S_n-1+n-1作差可知a_n+1=2（a_n-1+1），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）利用分組法求和及錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：根據(jù)題意可知：2a_n=S_n+n，…（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，a₁=1，…（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+n-1，
相減得：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+n-（n-1），…（4分）
整理得：a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
由于a₁+1=2≠0，則a_n+1≠0，
所以$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=2，（n≥2）…（5分）
所以數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．…（6分）
因?yàn)?{a_n}+1={2^n}$，
所以${a_n}={2^n}-1$．…（7分）
（2）解：∵$n{a_n}=n•{2^n}-n$，
∴${T_n}=（1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}）-（1+2+3+…+n）$，…（9分）
令S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
則2S=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相減得：-S=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，…（11分）
故 S=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，…（13分）
所以${T_n}=（{n-1}）•{2^{n+1}}+2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．