Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，10），若點(diǎn)P滿足

AP

=

AB

+λ

AC

，
（1）當(dāng)λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在直線y=x上；
（2）當(dāng)λ范圍是多少時(shí)，點(diǎn)P在第三象限．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)已知的幾點(diǎn)坐標(biāo)求出向量：

AP

，

AB

，

AC

的坐標(biāo)，根據(jù)

AP

=

AB

+λ

AC

，即可用λ表示x，y：x=5+5λ，y=4+7λ，因?yàn)辄c(diǎn)P在y=x上，所以：5+5λ=4+7λ，這樣即可解出λ；
（2）P在第三象限，則x＜0，y＜0，帶入λ即可解出λ的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，

AC

=(5，7)；
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，∴（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7）；
∴

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，∴x=5+5λ，y=4+7λ；
若點(diǎn)P在直線y=x，則：5+5λ=4+7λ，解得λ=

1

2

；
∴λ=

1

2

時(shí)，點(diǎn)P在直線y=x上；
（2）若點(diǎn)P在第三象限，則x＜0，y＜0；
∴

5+5λ＜0 4+7λ＜0

，解得λ＜-1；
∴λ＜-1時(shí)，點(diǎn)P在第三象限．

點(diǎn)評(píng)：考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)P在直線上的充要條件，點(diǎn)P在第三象限的充要條件．