Question

1．在直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρcos²θ=2sinθ，過點P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與軌跡C交于M，N兩點．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

分析 （1）將ρcos²θ=2sinθ兩邊同時乘以ρ，根據(jù)極坐標與直角坐標的對應關系得出曲線C的直角坐標方程，將$\frac{\sqrt{2}}{2}t=x$代入y=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$消去參數(shù)t即得直線l的普通方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線方程得到M，N對應的參數(shù)，利用參數(shù)得幾何意義得出|MN|．

解答 解：（I）∵ρcos²θ=2sinθ，∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，∴曲線C的直角坐標方程為x²=2y．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴y=1+x，即x-y+1=0，∴直線l的普通方程x-y+1=0；
（II）將$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²=2y可得${t^2}-2\sqrt{2}t-4=0$，
設M，N對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+16}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的轉化，利用參數(shù)的幾何意義求距離，屬于基礎題．