Question

6．棱長(zhǎng)為1的正四面體的外接球的半徑為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，過B作BE⊥CD，交CD于E，A作AF⊥平面BCD，交BE于F，連結(jié)AE，設(shè)球心為O，則O在AF上，連結(jié)BO，求出BF，EF，AF的長(zhǎng)，設(shè)球半徑為R，則BO=AO=R，由此利用勾股定理能求出這個(gè)正四面體外接球的半徑．

解答 解：已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，過B作BE⊥CD，交CD于E，
A作AF⊥平面BCD，交BE于F，連結(jié)AE，設(shè)球心為O，則O在AF上，連結(jié)BO，
BE=AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{2}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
$AF=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
設(shè)球半徑為R，則BO=AO=R，
∴R²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{3}-R$）²，
解得R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的外接球的半徑的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正四面體的結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用．