Question

13．已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），且關(guān)于方程f（x）=2x有兩實(shí)數(shù)根：x₁=1，x₂=4；函數(shù)g（x）=2x+m．
（1）求f（x）解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在區(qū)間x∈[0，1]上最小值是$\frac{7}{2}$．求t的值；
（3）設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[p，q]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），在x∈[p，q]上有兩個不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[p，q]上是“Ω函數(shù)”，若f（x）與g（x）在[0，3]上是“Ω函數(shù)”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題知，可設(shè) f（x）=ax²+bx+4，方程f（x）=2x有兩實(shí)數(shù)根：x₁=1，x₂=4，求得a，b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由于h（x）=（x-t）²+4-t²，其對稱軸為x=t．分①當(dāng)t≤0時、②當(dāng)0＜t＜1時、③當(dāng)t≥1時三種情況，分別根據(jù)最小值是$\frac{7}{2}$，求出t的值．
（3）根據(jù)新定義，將f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x²-5x+4-m在[0，3]上有兩個不同的零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），
設(shè)二次函數(shù)為f（x）=ax²+bx+4，
∵f（x）=2x有兩實(shí)數(shù)根：x₁=1，x₂=4，
∴ax²+（b-2）x+4=0．的根為x₁=1，x₂=4，
∴1+4=-$\frac{b-2}{a}$，1×4=$\frac{4}{a}$，
∴a=1，b=-3，
∴f（x）=x²-3x+4；
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，其對稱軸為x=t．
①當(dāng)t≤0時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，h（x）_min=h（0）=4≠$\frac{7}{2}$，
②當(dāng)0＜t＜1時，h（x）在[0，t]上單調(diào)遞減，在[t，1]上單調(diào)遞增，
h（x）_min=h（t）=4-t²=$\frac{7}{2}$，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
③當(dāng)t≥1時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（1）=5-2t=$\frac{7}{2}$，解得t=$\frac{3}{4}$（舍去）
綜上所述，t的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）若函數(shù)f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x+m在[0，3]上是“Ω函數(shù)”，
則函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有兩個不同的零點(diǎn)，
再根據(jù)二次函數(shù)F（x）的圖象的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，則 $\left\{\begin{array}{l}{△=（-5）^{2}-4（4-m）＞0}\\{F（0）=0-0+4-m≥0}\\{F（3）=9-15+4-m≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜m≤-2，
即m的范圍為：（-$\frac{9}{4}$，-2]．

點(diǎn)評 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的零點(diǎn)的定義和求法，屬于中檔題．