Question

2．觀察以下各式：cos6°cos54°cos66°=$\frac{1}{4}$cos18°，cos19°cos41°cos79°=$\frac{1}{4}$cos57°，cos27°cos33°cos87°=$\frac{1}{4}$cos81°．
（1）分析上述各式的共同特點，寫出一個能反映一般規(guī)律的等式；
（2）證明你寫出的等式．

Answer 1

分析 （1）利用條件，可得一般規(guī)律的等式；
（2）利用和差的余弦公式，結(jié)合二倍角公式證明等式．

解答 解：（1）由題意，cosαcos（60°-α）cos（60°+α）=$\frac{1}{4}$cos3α．
（2）左邊=cosα（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-$\frac{3}{4}$sin²α）
右邊=$\frac{1}{4}cosα$cos2α+$\frac{1}{4}$sinαsin2α=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-sin²α+$\frac{1}{4}$sin²α）=$\frac{1}{4}cosα$（cos²α-$\frac{3}{4}$sin²α）．
∴cosαcos（60°-α）cos（60°+α）=$\frac{1}{4}$cos3α．

點評 本題考查類比推理，考查對于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，著重考查了類比的能力．