Question

14．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，E、F分別是AB、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線EF∥平面ACC₁A₁；
（2）求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接EG，證明平面EGF∥平面ACC₁A₁，即可證明直線EF∥平面ACC₁A₁；
（2）令A(yù)C、BD相交于點(diǎn)O，連接C₁O，C₁D，C₁B，證明∠BC₁O即為BC₁與平面ACC₁A₁所成角的平面角，即可求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的余弦值．

解答 （1）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接EG．
∵E、G分別是AB、BC的中點(diǎn)，則EG∥AC，
∴EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁．
又∵EG∩FG=G，則平面EGF∥平面ACC₁A₁，
∵EF?平面EGF，
∴EF∥平面ACC₁A₁…（12分）
（2）解：令A(yù)C、BD相交于點(diǎn)O，連接C₁O，C₁D，C₁B，
由已知BO⊥AC，BO⊥CC₁，且CC₁∩CO=C
∴BO⊥平面ACC₁A₁，即OC₁是直線BC₁在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影，
∴∠BC₁O即為BC₁與平面ACC₁A₁所成角的平面角，
顯然，△DBC₁為正三角形，且C₁O是BC₁D的角平分線，
∴$∠B{C_1}O=\frac{π}{6}$，即$cos∠B{C_1}O=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
即直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．