Question

11．下列命題：
①設(shè)a，b是非零實數(shù)，若a＜b，則ab²＜a²b；
②若a＜b＜0，則$\frac{1}{a}＞\frac{1}$；
③函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值是2；
④若x、y是正數(shù)，且$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，則xy有最小值16；
⑤已知兩個正實數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，則x+y的最小值是$4\sqrt{2}$．
其中正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 ①的結(jié)論不成立，舉出反例即可；
②由同號不等式取倒數(shù)法則，知②成立；
③④⑤分別利用基本不等式即可判斷．

解答 解：①設(shè)a，b是非零實數(shù)，若a＜b，則ab²＜a²b，此結(jié)論不成立，
反例：令a=-10，b=-1，則ab²=-10＞a²b=-100，故①不成立；
②若a＜b＜0，由同號不等式取倒數(shù)法則，知$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$，故②成立；
③函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2的前提條件是$\sqrt{{x}^{2}+2}$=1，∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥2，∴函數(shù)y的最小值不是2，故③不正確；
④∵x、y是正數(shù)，且$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，∴1=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥2$\sqrt{\frac{4}{xy}}$，∴$\sqrt{\frac{1}{xy}}$≤$\frac{1}{4}$∴xy≥16，故④正確，
⑤兩個正實數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，∴$\frac{1}{y}$=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，即y=$\frac{x}{x-2}$＞0，∴x＞2，
∴y+x=x+$\frac{x}{x-2}$=x-2+$\frac{x-2+2}{x-2}$+2=x-2+$\frac{2}{x-2}$+3≥2$\sqrt{2}$+3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2+$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$+1時取等號，故⑤不正確，
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，解題時要注意同號不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成立的條件等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用．