Question

13．f（x）=ax²-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，則f（3）的取值范圍[-1，20]．

Answer 1

分析 法一、由已知求出a-c，4a-c的范圍，把f（3）轉化為a-c，4a-c的形式得答案．
法二、由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．

解答 解：法一、∵f（x）=ax²-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，
∴-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，
則f（3）=9a-c=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+4n=9}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{5}{3}$，n=$\frac{8}{3}$．
∴$\frac{5}{3}≤-\frac{5}{3}（a-c）≤\frac{20}{3}$，$-\frac{8}{3}≤\frac{8}{3}（4a-c）≤\frac{40}{3}$．
∴f（3）=9a-c=$-\frac{5}{3}（a-c）+\frac{8}{3}（4a-c）∈$[-1，20]．
法二、
由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5作出可行域如圖，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{a-c=-4}\\{4a-c=5}\end{array}\right.$，解得C（3，7），
化目標函數z=f（3）=9a-c為c=9a-z，
由圖可知，當直線c=9a-z過A（0，1）時z有最小值-1；
當直線c=9a-z過C（3，7）時z有最大值為20．
故答案為：[-1，20]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查利用待定系數法求解不等式的范圍問題，是中檔題．