Question

3．若函數(shù)f（x）不是常函數(shù)，且對(duì)?a，b∈R，有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；
（3）求證：若f（2）=1，f（1）≠1，則對(duì)?x∈R有f（x+2）=f（x）．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，求出f（0），再進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b），令a=0，得到f（b）=f（-b），從而很容易得到函數(shù)f（x）的奇偶性．
（3）可得f（x）+f（1-x）=0，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：令a=b=0，得：2f（0）=2f²（0），所以f（0）=0或1；
若f（0）=0，則令b=0，得：f（a）=0與f（x）不是常函數(shù)矛盾，所以f（0）=0舍去．
所以：f（0）=1；
（2）證明：令a=0得：f（b）+f（-b）=2f（b）?f（b）=f（-b），所以：f（x）為偶函數(shù)；
（3）解：令a=b=1，可得f（2）+f（0）=2f（1）f（1），因?yàn)閒（2）=1，f（1）≠1，
所以$f（1）=-1，f（\frac{1}{2}）=0，f（\frac{1}{2}+b）+f（\frac{1}{2}-b）=0，f（x）+f（1-x）=0$；
所以f（-x）=-f（1+x）⇒f（x）=f（x+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用．對(duì)抽象的問(wèn)題或一般性難以解決的問(wèn)題，不妨剖析一個(gè)特殊情形，進(jìn)而可望從結(jié)論或方法上得到某種啟發(fā)，亦可構(gòu)造一個(gè)滿足條件的特殊模型，從中發(fā)現(xiàn)寓于一般情形之中的隱含性質(zhì)．