Question

8．若關(guān)于x的不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，求參數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 若不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：若不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，
f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，
∵f′（x）=ln（1+x）+1=0時(shí)，x=$\frac{1}{e}$-1，
當(dāng)x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故f（x）的圖象如下圖所示：

又由直線y=ax的圖象過(guò)原點(diǎn)，f′（0）=1
故當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，
即不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是恒成立問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想，導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．