Question

6．已知函數(shù)f（x）=a（x²-x-1）e^-x+m，（x∈R，a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，f（x）有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對任意x₁，x₂∈[0，4]均有f（x₂）-1＜f（x₁）＜f（x₂）+1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=-x（x-3）e^-x，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，利用f（x）有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[0，4]上有極大值f（3）=5ae^-3也是最大值，要使得函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，只需|f（3）-f（0）|＜1即可，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=（x²-x-1）e^-x+m
f′（x）=-x（x-3）e^-x，
令f′（x）=0，
∵a＞0，∴x₁=0，x₂=3，
f′（x）＞0，得0＜x＜3； f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，
f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，+∞）上為減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）極大值f（3）=5e^-3，極小值為f（0）=-1，
∵f（x）有三個零點(diǎn)，
∴-1＜-m＜5e^-3，
∴-5e^-3＜m＜1；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，4]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，4]上有極大值f（3）=5ae^-3，也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae^-4＞0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值為-a，
∴要使得函數(shù)f（x）對任意x₁，x₂∈[0，4]均有f（x₂）-1＜f（x₁）＜f（x₂）+1，即有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，
只需|f（3）-f（0）|＜1即可，∴5ae^-3+a＜1，
∵a＞0，∴0＜a＜$\frac{{e}^{3}}{5+{e}^{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．