Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，且橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，長軸長為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；
（2）直線l：x=my-3交橢圓C于P、Q兩點，求△PQF₂面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q兩點縱坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離公式求出焦點F₂到直線PQ的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ x=my-3\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-6my+7=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{7}{{m}^{2}+2}$，
由△=36m²-28（m²+2）＞0，解得$m＜-\sqrt{7}$或m$＞\sqrt{7}$．
則$|PQ|=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{\sqrt{8{m^2}-56}}}{{{m^2}+2}}$，
又焦點F₂到直線PQ的距離$d=\frac{4}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，
∴${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{1}{2}|{PQ}|•d=\frac{{4\sqrt{2{m^2}-14}}}{{{m^2}+2}}$．
令m²-7=t²，m²＞7，t＞0，
則${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{{4\sqrt{2}t}}{{{t^2}+9}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{t+\frac{9}{t}}}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{{2\sqrt{t•\frac{9}{t}}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即m²=16，m=±4取得最大值${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)最值，考查計算能力，是中檔題．