Question

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若曲線在點處的切線為，求a的值；

（2）若函數(shù)的極小值為，求a的值；

（3）若，證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由可解得結(jié)果；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可得，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明該方程有唯一實根，則可得到答案；

（3）即證，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，（i）；（ii），利用導(dǎo)數(shù)分別證明即可.

（1），

由題意得，

∴，∴.

（2）當(dāng)時，∵，∴遞減，∴沒有極值；

當(dāng)時，，

∵，，

∴在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

∴時，取極小值.

即，∴，

令，則，

∴在上遞增，又，

∴方程有唯一解.

∴當(dāng)且僅當(dāng)時，的極小值為；

（3）

以下分別證明：當(dāng)時，有

（i）；（ii）.

（）令，，則，因為，所以，

所以在上遞減，所以，即；

（）時，顯然成立；

時，.

令，

則，

當(dāng)時，由（）知，，所以，

由，得，由，得，

所以在上遞減，在上遞增，

∴，∴.

∴，

∴.