Question

3．如果△ABC的內(nèi)角A、B、C對應的邊分別是a、b、c，如果a、b、c成等比數(shù)列，
（1）如果c=2a，求角cosB；
（2）如果△ABC的面積為$\frac{2}{5}$，且b=1，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列以及余弦定理即可求出cosB的值．
（2）利用三角形面積公式可求sinB，從而可求cosB的值，利用正弦定理，余弦定理即可求得sinA+sinC的值．

解答 解：（1）由題意可知：b²=ac，c=2a（3分）
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$（6分）
=$\frac{{a}^{2}+（2a）^{2}-a•2a}{2a•2a}$=$\frac{3}{4}$．（12分）
（2）∵b=1，b²=ac，△ABC的面積為$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$sinB，解得：sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得1=（a+c）²-2ac-2ac×$\frac{3}{5}$=（a+c）²-2-2×$\frac{3}{5}$，解得：a+c=$\frac{\sqrt{105}}{5}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{\frac{4}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinA+sinC=$\frac{a}{\frac{4}{5}}+\frac{c}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5（a+c）}{4}$=$\frac{5}{4}×$$\frac{\sqrt{105}}{5}$=$\frac{\sqrt{105}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)，考查計算能力，熟練掌握相關公式及定理是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．