Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$．
（1）求證{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}為等比數(shù)列；
（2）求證：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$，由此能證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$為首項，以4為公比的等比數(shù)列．
（2）由∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$，得a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$），由此利用裂項求和法能證明S_n＜$\frac{3}{2}$．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+4}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{{a}_{n}}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{3}=4（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}）$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$為首項，以4為公比的等比數(shù)列．
（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}=\frac{{4}^{n}}{3}$，∴a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$．
∴a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$）．
∴S_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）＜$\frac{3}{2}$．
∴S_n＜$\frac{3．}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和小于$\frac{4}{3}$的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列和裂項求和法的合理運用．