分析 直接利用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值判斷①;利用換元法求出函數(shù)sinx+cosx+sinxcosx最大值判斷②;利用數(shù)形結(jié)合求出y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的最大值判斷③;利用換元法求出函數(shù)y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$的最大值判斷④.
解答 解:①4cos10°-tan80°=4cos10°-$\frac{sin80°}{cos10°}$=4cos10°-$\frac{cos10°}{sin10°}$
=$\frac{4sin10°cos10°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos(30°-20°)}{sin10°}$
=$\frac{\frac{3}{2}sin20°-\frac{\sqrt{3}}{2}cos20°}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin20°-\frac{1}{2}cos20°)}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}sin(-10°)}{sin10°}=-\sqrt{3}$,①錯(cuò)誤;
②令sinx+cosx=t($-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$),
由同角三角函數(shù)關(guān)系得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
∴y=$t+\frac{{t}^{2}-1}{2}=\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}$,當(dāng)t=-1時(shí),y取得最小值=-1,當(dāng)T=$\sqrt{2}$時(shí),y取得最大值$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$,②錯(cuò)誤;
③y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的幾何意義為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(-2,-1)連線的斜率,如圖,
最大值k=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{4}{3}$,③錯(cuò)誤;
④由y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$,令x=2sinα($-\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$),則4-x2=4-4sin2α=4cos2α,
∴y=2sinα+2cosα=$2\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$∈[-2,2$\sqrt{2}$],④正確.
故答案為:④.
點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值,訓(xùn)練了三角函數(shù)最值的求法,是中檔題.
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A. | 關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱 | B. | 關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱. | ||
C. | 關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{4}$,0)對(duì)稱 | D. | 關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{6}$,0)對(duì)稱 |
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