1.下列說(shuō)法正確的是④
①4cos10°-tan80°化簡(jiǎn)結(jié)果為$\sqrt{3}$;
②sinx+cosx+sinxcosx最大值為2;
③y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的最大值為1;
④y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$的最大值為2$\sqrt{2}$.

分析 直接利用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值判斷①;利用換元法求出函數(shù)sinx+cosx+sinxcosx最大值判斷②;利用數(shù)形結(jié)合求出y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的最大值判斷③;利用換元法求出函數(shù)y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$的最大值判斷④.

解答 解:①4cos10°-tan80°=4cos10°-$\frac{sin80°}{cos10°}$=4cos10°-$\frac{cos10°}{sin10°}$
=$\frac{4sin10°cos10°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos10°}{sin10°}$=$\frac{2sin20°-cos(30°-20°)}{sin10°}$ 
=$\frac{\frac{3}{2}sin20°-\frac{\sqrt{3}}{2}cos20°}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin20°-\frac{1}{2}cos20°)}{sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}sin(-10°)}{sin10°}=-\sqrt{3}$,①錯(cuò)誤;
②令sinx+cosx=t($-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$),
由同角三角函數(shù)關(guān)系得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
∴y=$t+\frac{{t}^{2}-1}{2}=\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}$,當(dāng)t=-1時(shí),y取得最小值=-1,當(dāng)T=$\sqrt{2}$時(shí),y取得最大值$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$,②錯(cuò)誤;
③y=$\frac{sinx+1}{cosx+2}$的幾何意義為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(-2,-1)連線的斜率,如圖,
最大值k=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{4}{3}$,③錯(cuò)誤;
④由y=x+$\sqrt{4-{x^2}}$,令x=2sinα($-\frac{π}{2}≤α≤\frac{π}{2}$),則4-x2=4-4sin2α=4cos2α,
∴y=2sinα+2cosα=$2\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$∈[-2,2$\sqrt{2}$],④正確.
故答案為:④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值,訓(xùn)練了三角函數(shù)最值的求法,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.計(jì)算:
(1)(2$\frac{7}{9}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$+(2$\frac{10}{27}$)${\;}^{-\frac{2}{3}}$-3π0+$\frac{37}{48}$
(2)lg0.001+ln$\sqrt{e}$+log2(log216)+2${\;}^{-1+lo{g}_{2}3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

12.已知集合M={x|1<x<4},集合N={x|3<x<6}.
(1)求M∩N,∁RN;
(2)設(shè)A={x|a<x<a+4},若A∪∁RN=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.設(shè)0<α<π,0<β<π,$\overrightarrow{a}$=(cosα,sinα),$\overrightarrow$=(1-cosβ,sinβ),且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$-cosβ
(Ⅰ)求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ
(Ⅱ)求α、β的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.設(shè)U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x≤4},C={x|a≤x≤a+1},a為實(shí)數(shù),
(1)分別求A∩B,A∪(∁UB); 
(2)若B∩C=C,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱CD上移動(dòng).求證:PE⊥AF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.若f(x)=4x2+1,則f(x+1)=4x2+8x+5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+$\frac{π}{6}$)(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖象(  )
A.關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱B.關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱.
C.關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{4}$,0)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{6}$,0)對(duì)稱

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

11.已知二次函數(shù)f(x)與函數(shù)y=-2(x+1)2的開(kāi)口大小相同,開(kāi)口方向也相同,f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(1,2),定義在R上的函數(shù)g(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=f(x).
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)g(x)的圖象,并說(shuō)明g(x)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案