Question

11．已知二次函數(shù)f（x）與函數(shù)y=-2（x+1）²的開口大小相同，開口方向也相同，f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（1，2），定義在R上的函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)g（x）的圖象，并說明g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象的特點(diǎn)，先求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，將x＜0轉(zhuǎn)化為-x＞0，即可求出函數(shù)的解析式．
（2）畫圖，由圖象得到單調(diào)性．

解答 解：（1）由題知：f（x）=-2（x+1）²+2，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=f（x）=-2x²+4x，
∵g（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），
當(dāng)x=0時(shí)，g（-0）=-g（0），
∴g（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，
∴g（-x）=-2x²-4x=-g（x），
∴g（x）=2x²+4x，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+4x，x＜0}\\{-2{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$；
（2）圖象如圖所示：

由圖象可知，g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，在（-∞，-1），（1，+∞）是單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)的圖象的識(shí)別，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．