Question

2．某矩形花壇ABCD長(zhǎng)AB=3m，寬AD=2m，現(xiàn)將此花壇在原有基礎(chǔ)上有拓展成三角形區(qū)域，AB、AD分別延長(zhǎng)至E、F并使E、C、F三點(diǎn)共線．
（1）要使三角形AEF的面積大于16平方米，則AF的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）當(dāng)AF的長(zhǎng)度是多少時(shí)，三角形AEF的面積最�。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出DF=x，AF=x+2，因?yàn)椤鱂DC∽△CBE，則對(duì)應(yīng)線段成比例可知BE，表示出三角形AEF的面積，令其大于16得到關(guān)于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）利用基本不等式得出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)DF=x，AF=x+2，
∵△FDC∽△CBE，
∴$\frac{FD}{CB}$=$\frac{DC}{BE}$，
∴BE=$\frac{6}{x}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$（x+2）（$\frac{6}{x}$+3）=$\frac{1}{2}$（12+3x+$\frac{12}{x}$），
∵三角形AEF的面積大于16平方米，
∴$\frac{1}{2}$（12+3x+$\frac{12}{x}$）＞16，
∴（3x-2）（x-6）＞0，
∴x＞6或0＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴2＜AF＜$\frac{8}{3}$或AF＞8；
（2）${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}（{12+3x+\frac{12}{x}}）≥\frac{1}{2}（{12+2\sqrt{3x•\frac{12}{x}}}）=12$，
當(dāng)$3x=\frac{12}{x}，x=2$，即AF=4時(shí)取得最小．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，考查利用基本不等式求最值的能力．