Question

12．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（2）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；
（3）對(duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]都有，|f（x₁）-f（x₂）≤e-1，試求a的取值范圍．|

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，確定f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（2）函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=t±1共有三個(gè)根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個(gè)交點(diǎn)，即可解出t的值；
（3）問題等價(jià)于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1，即可求出a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于0＜a＜1，
∴l(xiāng)na＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，a^x-1＞0，
∴f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（2）解：由|f（x）-t|-1=0，
得：f（x）=t-1，或f（x）=t+1，
∵函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=t±1共有三個(gè)根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個(gè)交點(diǎn)．
不妨取a＞1，y=f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，極小值f（0）=1也是最小值，當(dāng)x→±∞時(shí)，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有兩個(gè)根，f（x）=t-1只有一個(gè)根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2；
（3）問題等價(jià)于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1．
由（2）可知f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中較大的一個(gè)，
f（-1）=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（1）=a+1-lna，f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
記g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x≥1），則g′（x）=（$\frac{1}{x}$-1）2≥0（僅在x=1時(shí)取等號(hào)）
∴g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx是增函數(shù)，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna＞g（1）=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值為f（1）=a+1-lna，
故對(duì)?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
當(dāng)x≥1時(shí)，（x-lnx）′=$\frac{x-1}{x}$≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范圍是1＜a≤e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值．