Question

5．已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B（A右B左）．
（1）若點M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$），一個切點B的橫坐標(biāo)為-1，求拋物線C的方程；
（2）若點M的坐標(biāo)為（a，-2p）（a為常數(shù)），設(shè)直線AM，BM的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函數(shù)y=$\frac{1}{2p}$x²的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切線的方程，代入M的坐標(biāo)，解方程可得p=1，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）設(shè)過M作拋物線2py=x²的切線的斜率為k，則過M的切線的方程為y+2p=k（x-a），與方程2py=x²聯(lián)立，消去y，再由直線和拋物線相切的條件：判別式為0，以及韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{2p}$x²，得y′=$\frac{1}{p}$x，
所以在B點處的切線斜率為：k=$\frac{{x}_{2}}{p}$，
切線的方程為y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），
由y₂=$\frac{1}{2p}$x₂²，化簡可得，x₂x-p（y+y₂）=0，
由x₂=-1，y₂=$\frac{1}{2p}$，再由點M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$），
可得-1-p（-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2p}$）=0，解得p=1，
即有拋物線的方程為x²=2y；
（2）設(shè)過M作拋物線2py=x²的切線的斜率為k，
則過M的切線的方程為y+2p=k（x-a），
與方程2py=x²聯(lián)立，消去y，得$\frac{1}{2p}$x²-kx+ak+2p=0，
因為直線與拋物線相切，所以△=k²-4•$\frac{1}{2p}$（ak+ap）=0，
即k²-$\frac{2a}{p}$k-2a=0．由題意知，此方程兩根為k₁，k₂，
∴k₁k₂=-2a（定值）．

點評 本題考查拋物線的方程和運用，考查直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．