Question

20．如圖是某建筑物的模型，現(xiàn)在要給該模型進行涂色，有紅，黃，藍，綠四種顏色可用，每層只能用一種顏色，在每一層涂色時，每種顏色被使用的可能性相同．
（1）求在1至4層中紅色恰好被使用1次，黃色沒有被使用的概率；
（2）求在1至4層中紅色被使用的次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差；
（3）為了使建筑物的色彩絢麗，規(guī)定每層只能從上一層未使用的三種顏色中等可能地隨機選用一種，已知第1層使用紅色，若用P_n表示第n層使用紅色的概率，求P_n的表達式，并求出第7層使用紅色的概率．

Answer 1

分析 （1）由在1至4層中紅色恰好被使用1次，黃色沒有被使用，得到前四層中，有一層是紅色，其余三層不能是紅色和黃色，由此能求出其概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．
（3）n=1時，p₁=1，n≠1時，p_n為n-1層不為紅色的前提下第n層為紅色，除去第一層和第n層，每層都有3種顏色可以選，由此推導(dǎo)出${p}_{n}-\frac{1}{4}$是等比數(shù)列，公比為-$\frac{1}{3}$，首項${p}_{1}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，從而能求出P_n的表達式，并求出第7層使用紅色的概率．

解答 解：（1）∵在1至4層中紅色恰好被使用1次，黃色沒有被使用，
∴前四層中，有一層是紅色，其余三層不能是紅色和黃色，
∴其概率為p=$\frac{{C}_{4}^{1}×{2}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{8}$．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{{3}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{3}^{3}}{{4}^{4}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{3}^{2}}{{4}^{4}}$=$\frac{27}{128}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•3}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{64}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{256}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{27}{128}$+$3×\frac{3}{64}+4×\frac{1}{256}$=1．
X的方差D（X）=$（0-1）^{2}×\frac{81}{256}$+（1-1）²×$\frac{27}{64}$+（2-1）²×$\frac{27}{128}$+（3-1）²×$\frac{3}{64}$+（4-1）²×$\frac{1}{256}$=$\frac{3}{4}$．
（3）n=1時，p₁=1，
n≠1時，p_n為n-1層不為紅色的前提下第n層為紅色，除去第一層和第n層，每層都有3種顏色可以選，
∴p_n=（1-p_n-1）×$\frac{{3}^{n-2}}{{3}^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}•{p}_{n-1}$，
p_n-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$（p_n-1-$\frac{1}{4}$），
p_n-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$（${p}_{n-1}-\frac{1}{4}$），
∴${p}_{n}-\frac{1}{4}$是等比數(shù)列，公比為-$\frac{1}{3}$，首項${p}_{1}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴${p}_{n}-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴${p}_{n}=\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{1}{4}$，
∴p₇=$\frac{3}{4}×（-\frac{1}{3}）^{6}+\frac{1}{4}$=$\frac{121}{486}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力要求高，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．