Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，設(shè)AC交BD于O，連結(jié)EO，則PA∥EO，由此能證明PA∥平面EO．
（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，從而BC⊥平面PDC，進而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能證明PB⊥平面DEF．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC交BD于O，連結(jié)EO，
∵底面ABCD中矩形，∴點O是AC的中點，
又∵點E是PC的中點，∴PA∥EO，
∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面EO．
（2）PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC，
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC，
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，
∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE?平面DEF，EF?平面DEF，
∴PB⊥平面DEF．

點評 本查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．