Question

14．F₁（-4，0）、F₂（4，0）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$（m＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線C上一點(diǎn)，且∠F₁MF₂=60°，則△F₁MF₂的面積為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出m，再設(shè)出|MF₁|=m′，|MF₂|=n，利用雙曲線的定義以及余弦定理列出關(guān)系式，求出m′n的值，最后求解三角形的面積．

解答 解：∵F₁（-4，0）、F₂（4，0）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$（m＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴m+4=16，
∴m=12，
設(shè)|MF₁|=m′，|MF₂|=n，
∵點(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁MF₂=60°，
∴|m′-n|=4$\sqrt{3}$①，m′²+n²-2m′ncos60°=64②，
由②-①²得m′n=16
∴△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$m′nsin60°=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．