Question

14．已知x²+y²-4x-2y-k=0表示圖形為圓．
（1）若已知曲線關(guān)于直線x+y-4=0的對(duì)稱圓與直線6x+8y-59=0相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若k=15，求過(guò)該曲線與直線x-2y+5=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)系，求出對(duì)稱圓心的坐標(biāo)，再由對(duì)稱圓與6x+8y-59=0相切，即圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑r，即可求出k；
（2）先設(shè)圓心A坐標(biāo)并把k代入已知方程配方后求A的坐標(biāo)，由A在x-2y+5=0上時(shí)此圓的面積最小，兩個(gè)圓心的連線與直線垂直，利用斜率之積等于-1和A在直線上列出方程組求圓心的坐標(biāo)，再利用弦心距、半徑和弦的一半關(guān)系求出半徑．

解答 解：（1）已知圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=5+k（k＞-5），
可知圓心為（2，1），設(shè)它關(guān)于y=-x+4的對(duì)稱點(diǎn)為（x₁，y₁），
則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}=1}\\{\frac{{{y_1}+1}}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{2}+4}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=3}\\{{y_1}=2}\end{array}}\right.$，…（2分）
∴點(diǎn)（3，2）到直線6x+8y-59=0的距離為$\frac{{|{6×3+8×2-59}|}}{{\sqrt{{6^2}+{8^2}}}}=\frac{5}{2}$，
即$r=\frac{5}{2}$…（4分）
∴$\sqrt{k+5}=\frac{5}{2}$，∴$k=\frac{5}{4}$…（6分）
（2）當(dāng)k=15時(shí)，圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=20…（7分）
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
∵已知圓的圓心（2，1）到直線x-2y+5=0的距離為$d=\frac{{|{2-2×1+5}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}=\sqrt{5}$，…（8分）
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}-2{y_0}+5=0}\\{\frac{{{y_0}-1}}{{{x_0}-2}}=-2}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=1}\\{{y_0}=3}\end{array}}\right.$，…（10分）$r=\sqrt{{{（2\sqrt{5}）}^2}-{{（\sqrt{5}）}^2}}=\sqrt{15}$，…（11分）
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=15…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓與直線的綜合問(wèn)題，利用弦心距、半徑和弦的一半構(gòu)成直角三角形，兩個(gè)圓關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)有半徑相等和圓心對(duì)稱關(guān)系及相切的條件求出半徑，再求出k的值．