Question

19．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)M（0，2），線段MF與C的交點(diǎn)是N，過N作C準(zhǔn)線的垂線，垂足是Q，若∠MQF=90°，則p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，可得點(diǎn)N是Rt△MQF的中點(diǎn)，因此N$（\frac{p}{4}，0）$，|NQ|=$\frac{1}{2}|MF|$．解出即可．

解答 解：如圖所示，
∵∠MQF=90°，|NF|=|NQ|，
∴點(diǎn)N是Rt△MQF的中點(diǎn)，
∴N$（\frac{p}{4}，0）$，|NQ|=$\frac{1}{2}|MF|$．
∴$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+{2}^{2}}$，
化為p²=2，
解得：p=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．