Question

8．已知直線l經(jīng)過點 P（-1，1），傾斜角α的正切值是$\frac{3}{4}$，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$）．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求圓心C到直線l的距離．

Answer 1

分析 （1）由tanα=$\frac{3}{4}$，可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．又直線l經(jīng)過點 P（-1，1），即可得出直線l的參數(shù)方程；圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$），利用和差公式展開再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）由tanα=$\frac{3}{4}$，可得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．又直線l經(jīng)過點 P（-1，1），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}}$），展開可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρ（\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）$，
∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=x+y，配方為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：3x-4y+7=0．
∴圓心$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$到直線l的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}×3-\frac{1}{2}×4+7|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{13}{10}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．