Question

5．一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示（其中M、N分別是AF、BC的中點）．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積；
（3）求平面ADE與平面NMF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）取BF的中點P，連接MP，NP．又M，N分別為AF，BC的中點．利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可證明MN∥平面CDEF．
（2）作AQ⊥DE，垂足為Q，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：AQ⊥平面CDEF．利用V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×AQ×{S}_{CDEF}$即可得出．
（3）利用平面BCF⊥平面ABFE，可得MP⊥平面BCF，過點P作PG⊥NF，可得：NF⊥MG，于是∠MGF為M-NF-B的二面角的平面角，即為平面ADE與平面NMF所成的銳二面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：由三視圖可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，底面ABFE是邊長為2的正方形，M，N分別為AF，BC的中點．
（1）證明：取BF的中點P，連接MP，NP．
又M，N分別為AF，BC的中點．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）解：作AQ⊥DE，垂足為Q，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AQ，
∴AQ⊥平面CDEF．
∵S_{四邊形CDEF}=EF•DE=$2×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
$AQ=\frac{AD•AE}{DE}$=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×AQ×{S}_{CDEF}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．
（3）解：∵平面BCF⊥平面ABFE，平面BCF∩平面ABFE=BF，MP⊥BF，∴MP⊥平面BCF，
過點P作PG⊥NF，連接MG，則NF⊥MG，
∴∠MGF為M-NF-B的二面角的平面角，即為平面ADE與平面NMF所成的銳二面角．
∵tan∠MFB=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠MFB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
在Rt△FPG中，PG=PF•sin∠PFG=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴tan∠MGF=$\frac{MP}{PG}$=$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$．
∴cos∠MGF=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定及其性質(zhì)定理、二面角、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．