Question

8．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為2．

Answer 1

分析 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△AB0及其內部，再將目標函數(shù)z=ax+by對應的直線進行平移，可得當x=1且y=1時，z_最大值=a+b=2．由此再利用基本不等式求最值，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABO及其內部，$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2=0\\ x-y=0\end{array}\right.$其中A（1，1），
B（$\frac{2}{3}$，0），0為坐標原點
設z=F（x，y）=ax+by，將直線l：z=ax+by進行平移，
由a＞0且b＞0得直線l的斜率為負數(shù)，觀察y軸上的截距變化，可得當l經過點A時，目標函數(shù)z達到最大值
∴z_最大值=F（1，1）=a+b=2，
因此，$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{a}+\frac{a}$）
∵a＞0且b＞0，$\frac{a}+\frac{a}≥2$，∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥2，
當且僅當a=b=1時，等號成立
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為：2．
故答案為：2

點評 本題給出二元一次不等式組，求在已知目標函數(shù)的最大值為1的情況下求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值，著重考查了基本不等式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．