Question

19．已知函數(shù)$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）+4{cos^2}$ωx-2，（ω＞0），其圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使得f（x）≥-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的x的取值集合；
（Ⅲ）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)g（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），當(dāng)m取得最小值時(shí)，求g（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），由題意可得函數(shù)y=f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，即可得解．
（Ⅱ）由已知求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）$≥-\frac{1}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{11π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，從而解得x的取值集合．
（Ⅲ）先由題意求得g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），可得$\sqrt{3}$sin[2（-$\frac{π}{3}$）+2m+$\frac{π}{3}$]=0，求得當(dāng)k=0時(shí)，m取得最小值，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，求得$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）由已知$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）+4{cos^2}$ωx-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-4×$\frac{1-cos2ωx}{2}$+2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{3}{2}cos2ωx$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由題意可得函數(shù)y=f（x）的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）…4分
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）$≥-\frac{1}{2}$，
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2kπ+$\frac{11π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，
∴可解得x的取值集合為：{x/k$π-\frac{π}{6}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{12}$}∪{x/k$π+\frac{3π}{4}$≤x≤k$π+\frac{5π}{6}$}，k∈Z…6分
（Ⅲ）將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），
∴$\sqrt{3}$sin[2（-$\frac{π}{3}$）+2m+$\frac{π}{3}$]=0，即sin（2m-$\frac{π}{3}$）=0，
∴2m-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），m=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
∵m＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，m取得最小值，此時(shí)最小值為$\frac{π}{6}$，此時(shí)g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
若-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{12}$，則$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，
當(dāng)$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{6}$≤x≤-$\frac{π}{12}$時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)$\frac{3π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{11π}{6}$，即$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{7π}{12}$時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．