Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{asinx+2，x≥0}\\{{x}^{2}+2a，x＜0}\end{array}\right.$（其中a∈R）的值域為S，若[1，+∞）⊆S，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． [1，$\frac{3}{2}$]∪（$\frac{7}{4}$，2]
• C． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪[1，2]
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 對a=0，a＞，a＜0分類求出分段函數(shù)的值域S，結(jié)合[1，+∞）⊆S，由兩集合端點值間的關(guān)系列不等式求得a的取值范圍．

解答 解：a=0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{asinx+2，x≥0}\\{{x}^{2}+2a，x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，函數(shù)的值域為S=（0，+∞），滿足[1，+∞）⊆S，
a＞0，當(dāng)x≥0時，f（x）=asinx+2∈[2-a，2+a]；當(dāng)x＜0時，f（x）=x²+2a∈（2a，+∞）．
若0$＜a＜\frac{2}{3}$，f（x）的值域為（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴0$＜a＜\frac{1}{2}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2a}\\{2+a≥2a}\end{array}\right.$，即$\frac{2}{3}≤a≤2$，f（x）的值域為[2-a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2-a≤1，∴1≤a≤2；
若2+a＜2a，即a＞2，f（x）的值域為[2-a，2+a]∪（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴a∈∅；
a＜0，當(dāng)x＜0，f（x）=x²+2a＞2a，此時一定有[1，+∞）⊆S．
綜上，滿足[1，+∞）⊆S的a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）∪[1，2]．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了集合間的關(guān)系，是中檔題．