Question

14．從橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，點A、B是橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點，且AB∥OM，|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ） 若P是該橢圓上的動點，右焦點為F₂，求$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先計算PF₁的長，再利用兩直線平行得tan∠MOF₁，最后在直角三角形MOF₁中，找到a、b、c間的等式，從而求出離心率；
（Ⅱ）由|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，可得a+c=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，再由a=$\sqrt{2}$c，解得a，c，再求b，進(jìn)而得到橢圓方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍，即可得到所求的最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），
將x=-c代入橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|PF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，|OF₁|=c，
∵AB∥OM，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=$\frac{a}$，
∴在直角三角形MOF₁中，tan∠MOF₁=$\frac{|M{F}_{1}|}{|O{F}_{1}|}$=$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$，
∴b=c，∴a=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ） 由|F₁A|=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，
可得a+c=$\sqrt{10}+\sqrt{5}$，
又a=$\sqrt{2}$c，解得a=$\sqrt{10}$，c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
設(shè)P（m，n），可得m²+2n²=10，
又F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{5}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{5}$-m，-n），
即有$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（-$\sqrt{5}$-m）（$\sqrt{5}$-n）+n²
=m²+n²-5=10-n²-5=5-n²，
由-$\sqrt{5}$≤n≤$\sqrt{5}$，
可得n=0，取得最大值5，n=$\sqrt{5}$時，取得最小值0．
則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范圍是[0，5]．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，注意運(yùn)用兩直線平行的條件，考查平面向量的數(shù)量積的范圍，注意運(yùn)用坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍，屬于中檔題．