Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形ABCD，側(cè)棱PA垂直于底面，且PA=3．
（1）求異面直線PB與CD所成的角的大��；（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD可知∠PBA是異面直線PB與CD所成的角，且PA⊥AB，得出tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由PA⊥底面ABCD可知PA為棱錐的高，代入體積公式即可求出棱錐的體積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠PBA是異面直線PB與CD所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{3}{4}$．∴∠PBA=arctan$\frac{3}{4}$．
（2）V_棱錐P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PA=$\frac{1}{3}×{4}^{2}×3$=16．

點評 本題考查了空間角的計算，空間幾何體的體積計算，正確作出空間角是解題關(guān)鍵．