Question

【題目】已知函數(shù) 且 .
（1）當(dāng) 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 當(dāng) 時，

,

由 ，解得 ,所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .

由 ,解得 ,

所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 .

所以函數(shù) 的極小值為 無極大值

（2）解: 當(dāng) 時, ,

設(shè) ,當(dāng) 時， ,此時 恒成立，

所以 在 上單調(diào)遞增，所以 .當(dāng) 時，

,令 ,即 ,

解得 或 ；

令 ,即 ,解得 .

①當(dāng) 時，即當(dāng) 時, 對 恒成立，

則 在 區(qū)間單調(diào)遞減, 所以 .

②當(dāng) 時，即當(dāng) 時, 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,

在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 所以 .

③當(dāng) ，即 時, 對 恒成立，

則 在區(qū)間 單調(diào)遞增，所以 .

綜上所述，當(dāng) 時， ,

當(dāng) 時， ；

當(dāng) 或 時,

【解析】(1)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間的正負(fù)情況得出原函數(shù)的單調(diào)性進而得到其極值。(2)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再通過對a分情況討論確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進而得到原函數(shù)f(x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的最小值。
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．