Question

1．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函數(shù)f（x）=ax²-2x+1在x∈[1，3]上的最小值為N（a），最大值為M（a）．設(shè)g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)解析式；
（2）求g（a）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{3}$≤a≤1，可得1≤$\frac{1}{a}$≤3，所以f（x）在[1，3]上，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．由f（1）-f（3）的符號進(jìn)行分類討論，能求出g（a）的解析式；
（2）討論當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤1時，運用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，可得最值．

解答 解：（1）f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
∴f（x）在[1，3]上，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
∵f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），
∴①當(dāng)1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6．
②當(dāng)2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
g（a）=M（a）-N（a）=a+$\frac{1}{a}$-2．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6，\frac{1}{2}≤a≤1}\\{a+\frac{1}{a}-2，\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，g（a）=a+$\frac{1}{a}$-2的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，即為減函數(shù)，
可得g（$\frac{1}{3}$）取得最大值，且為$\frac{10}{3}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤1時，g（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6的導(dǎo)數(shù)為9-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
即為增函數(shù)，可得g（1）為最大值，且為4；g（$\frac{1}{2}$）為最小值，且為$\frac{1}{2}$．
綜上可得g（a）的最小值為$\frac{1}{2}$，最大值為4．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運用和函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．