Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x，m＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m≥1時(shí)，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)，得到函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x）和g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），m＞0，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{m}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{m}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{m}$）遞減，在（$\sqrt{m}$，+∞）遞增；
（2）f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，
h′（x）=-$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，
∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，m）遞增，在（m，+∞）遞減，
∴h（x）_極小值=h（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）和x軸有1個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考察轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．