Question

10．雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)對(duì)稱，且與圓x²+y²=10相交于點(diǎn)P（3，-1），若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，此雙曲線的方程為$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．

Answer 1

分析 求出圓在P處的切線斜率，根據(jù)焦點(diǎn)的位置不同分情況討論，使用待定系數(shù)法列方程解出．

解答 解：圓x²+y²=10在P（3，-1）處的切線斜率為3．
（1）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=3}\end{array}\right.$，解得a²=$\frac{80}{9}$，b²=80．∴雙曲線方程為$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．
（2）若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{9}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=3}\end{array}\right.$，方程無解．
故答案為$\frac{9{x}^{2}}{80}-\frac{{y}^{2}}{80}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的方程，漸近線方程，曲線的切線，屬于中檔題．